[알고리즘] Backtracking(백트래킹)

백트래킹은 조합 탐색과 같은 문제에서 해를 찾는 도중에 해가 될 수 없는 경우를 미리 파악하여 탐색을 중단하고 다른 경로를 탐색하는 효율적인 기법입니다. 이번 글에서는 백트래킹 알고리즘의 개념과 구현 방법, 그리고 실제 문제를 해결하는 과정을 예시를 통해 알아보겠습니다.

 

1. 백트래킹 알고리즘이란?

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백트래킹은 문제의 조건에 따라 탐색해야 하는 모든 경우의 수를 시도하면서 해를 찾는 알고리즘입니다. 주로 DFS(깊이 우선 탐색)와 함께 사용되며, 재귀 함수를 통해 구현됩니다. 백트래킹은 가능한 경우의 수를 줄여나가면서 해를 찾는 방법으로, 탐색 과정에서 불필요한 경로를 배제하여 실행 속도를 향상할 수 있습니다.

 

2. 문제 설명

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이제 실제로 백트래킹을 사용하여 해결할 문제를 살펴보겠습니다. 주어진 조건에 따라 자연수 N과 M에 대해 조합을 찾는 문제입니다. 자연수 1부터 N까지 중복 없이 M개를 선택하되, 선택한 수열은 오름차순으로 정렬되어야 합니다. 이 문제를 백트래킹을 통해 해결하는 방법을 알아보겠습니다.

 

 

3. 알고리즘 설명

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백트래킹 알고리즘을 구현하기 위해 다음과 같은 데이터 구조와 변수가 필요합니다.

sequence: 선택한 수열을 저장하는 배열
visited: 방문 여부를 저장하는 배열
N, M: 문제에서 주어지는 자연수의 범위
백트래킹 알고리즘의 핵심 아이디어는 다음과 같습니다.

수열의 길이가 M에 도달하면 선택한 수열을 출력합니다.
현재 선택한 숫자보다 큰 숫자들 중에서 방문하지 않은 숫자를 선택하여 수열에 추가합니다.
재귀적으로 다음 숫자를 선택하고, 선택한 숫자를 방문했음을 표시합니다.
재귀 호출이 끝나면 선택한 숫자를 방문하지 않은 상태로 변경하고, 수열에서 제거합니다.
이제 위 알고리즘을 구현한 코드를 살펴보겠습니다.

 

// 백트래킹 알고리즘을 사용한 조합 찾기
public void backtracking(int[] sequence, boolean[] visited, int N, int M, int depth) {
    // 종료 조건: 수열의 길이가 M에 도달하면 출력
    if (depth == M) {
        for (int num : sequence) {
            System.out.print(num + " ");
        }
        System.out.println();
        return;
    }

    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        // 선택한 숫자보다 큰 숫자 중에서 방문하지 않은 숫자 선택
        if (!visited[i] && (depth == 0 || sequence[depth - 1] < i)) {
            sequence[depth] = i; // 수열에 추가
            visited[i] = true; // 방문 표시
            backtracking(sequence, visited, N, M, depth + 1); // 다음 숫자 선택
            visited[i] = false; // 방문 상태 초기화
        }
    }
}

 

4. 예시 및 실행 결과

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이제 백트래킹 알고리즘을 사용하여 문제를 해결하는 예시를 살펴보겠습니다.

입력: N = 4, M = 2

출력:
1 2
1 3
1 4
2 3
2 4
3 4

위와 같이 모든 가능한 조합을 출력하며, 각 수열은 오름차순으로 정렬되어 있습니다.

 

 

5. 시간 복잡도

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백트래킹 알고리즘의 시간 복잡도는 주로 문제의 조건에 따라 달라집니다. 이 문제의 경우, 선택할 수 있는 숫자가 N개이고, 수열의 길이가 M이므로 총 경우의 수는 O(N^M)입니다. 따라서 최악의 경우에는 지수 시간이 소요될 수 있습니다.

 

6. 추가적인 설명

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백트래킹 알고리즘을 사용할 때 몇 가지 유용한 팁과 최적화 방법이 있습니다. 예를 들어, 숫자를 선택할 때 이미 방문한 숫자를 다시 선택하지 않도록 하는 방법이 있습니다. 또한, 정렬된 수열을 만들어야 하는 경우에는 선택 가능한 범위를 좁혀서 탐색을 더욱 효율적으로 수행할 수 있습니다. 이러한 팁과 최적화 방법을 적용하여 알고리즘을 개선해 볼 수도 있습니다.

7. 마무리

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백트래킹은 가능한 모든 경우의 수를 탐색하면서 해를 찾는 효율적인 알고리즘입니다. 주어진 문제에 따라 백트래킹을 적용하여 해결하는 방법을 익히고, 최적화 방법을 고려하여 효율성을 높일 수 있습니다. 문제 해결 과정에서는 재귀적인 접근과 탐색의 중단 조건을 명확히 이해하고 구현하는 것이 중요합니다.